Tugas Analisis Real 1

Tugas Analisis Riel

Hal 36-37

5A. if a,b R and , show that a=b=0.

Prove :

A=b=0. Artinya a=0 dan b=0

Andaikan a0 dan b0, maka

i) Untuk a=0 dan b0

a.a + b.b = 0

0.0 + b.b = 0 … a=0

0 + b.b = 0 … T.4.5.(a)

b.b = 0 … A3

b= 0 … T.4.6.(b)

kontradiksi dengan pengandaian b0

ii) Untuk a0 dan b0

a.a + b.b = 0

a.a + 0.0 = 0 … a=0

a.a + 0 = 0 … T.4.5.(a)

a.a = 0 … A3

a= 0 … T.4.6.(b)

kontradiksi dengan pengandaian a0

Jadi pengandaian a0 dan b0 adalah salah, haruslah a=0 dan b=0

a=b=0

5B. if n N, show that , and hence

Prove:

Dengan menggunakan induksi matematika

Misal S N, S= {n N. }

i) 1 S, akan dibuktiktikan n=1 benar

(benar)

ii) Misalkan kS, dan n=k, maka kita asumsikan

benar

Adit :

Bukti :

= (k+1)(k+1)

= (k+1)(k) +(k+1)(1) … sifat D

= k² + k + k + 1 … sifat D

= k² + 2k + 1

2k+1

k+1

Ini menyatakan bahwa (k+1) benar

Dari i) dan ii) disimpulkan bahwa b nebar untuk setiap nN, dengan kata lain

Selanjutnya adit

n² >0. nN, maka … T.4.6(a)

n >0. nN, maka … T.4.6(a)

n² n

n.n n

karena

n.n n

… kedua ruas dikalikan

… M4

1 . n1 … M4

n1 … M3

dapat ditulis : 1 n

karena

1 n

… kedua ruas dikalikan

… M4

… kedua ruas dikalikan

5C. if a>-1, aR, show that for all nN

(Ketidaksamaan Nernoulli)

Prove:

Menggunakan Induksi Matematika

Misal : S N, S= {n N. }

i) 1 S, akan dibuktiktikan n=1 benar

Sebab

ii) Misalkan kS, dan n=k, maka kita asumsikan

benar

Adit : benar

Bukti :

= (1+a)^k . (1+a)¹

(1+ka)(1+a) = 1+a+ka+ka²

= 1+ (k+1)a + ka²

1 + (k+1)a

dari i) dan ii) dapat disimpulkan s=n, atau ,

5D. if c>1, c show that ,

Hint: c=1+a with a>0

Prove:

Menggunakan induksi matematika

i) Adit n=1 benar

Sebab

benar

ii) Asumsikan adalah benar

Adit : benar

Bukti : c^k+1 = c^k.c¹

= c^k.c

c.c

c

Jadi,

dari i) dan ii) dapat disimpulkan terbukti bahwa , , c>1, c

5G. show that n < 2ⁿ for all , hence for all

Prove:

· Show that n < 2ⁿ

Menggunakan induksi matematika

Misal : S N, S= {n N, n < 2ⁿ }

i) 1 S, akan dibuktiktikan n=1 benar

Sebab 1 < 2¹

1 < 2 (benar)

ii) Misalkan kS, dan n=k, maka kita asumsikan

k < 2^k benar

Adit : k+1 < 2^k+1 benar

Bukti :

Cara I

k+1 < 2^k+1

2^k+1 = 2^k . 2¹

> k . 2

> k + 1

2 ^k+1 > k+1 dapat juga ditulis k+1 < 2^k+1

Cara II

k < 2^k

k+1< 2^k + 1 … kedua ruas ditambah 1

<2^k . 2= 2^k+1

k+1 < 2^k+1 benar

dari i) dan ii) dapat disimpulkan terbukti bahwa n < 2ⁿ , .

· Show that

n < 2ⁿ , dapat ditulis 2ⁿ>n

karena n0 maka 2ⁿ 0

karena 2ⁿ 0 maka ada … T.4.6.(a)

2ⁿ > n

… kedua ruas dikalikan

1 > … M4

Karena n0 maka ada … T.4.6.(a)

1 >

… kedua ruas dikalikan

… M3

… M4

… M3

Dapat ditulis